Dáno: P1[y1, x1], P2[y2, x2]
Měřeno:
úhly ω1, ω2
Určit:
bod P3[y3, x3]
Jedná se o určení polohy nového bodu P3 ze směrů měřených na 2 daných bodech A, B.
Výpočet souřadnic se provádí pomocí 2. geodetické úlohy. K té je nutné znát délku strany s13 a směrník σ13 (nebo s23, σ23 ). Délka strany se spočítá sinovou větou, k výpočtu směrníku se použije 1. geodetická úloha a naměřený úhel. U naměřeného úhlu je však důležitá orientace – úloha může mít teoreticky 2 řešení. Při výpočtu je tedy potřeba uvažovat orientaci naměřených úhlů (situace na obrázku vpravo)!
Je vhodné kvůli kontrole správnosti výpočtu určit bod P3 jak z bodu P1(viz dále), tak z bodu P2(analogicky). Výsledky musí vyjít stejně, až na případnou zaokrouhlovací chybu. Bod P3 není totiž přeurčen, tedy nejedná se o vyrovnání, jen o ověření výpočtu.
s12: výpočet z (2)
s13: ze sinové věty
σ12: výpočet z (4)
σ12: v závislosti na orientaci ω1 platí: σ12=σ12±ω1 . Platí, že pokud je zachováno pořadí bodů P1, P2, P3 ve směru hodinových ručiček, je znaménko kladné
P3[y3, x3] : z 2. geodetické úlohy
Poznámka
Výpočet lze také provést transformací souřadnic. Potom pokud počátek pomocného souřadnicového systému vložíme do bodu P1 a kladnou osu x tohoto systému do spojnice P1 – P2 vyjdou vztahy:
Příklad
Dáno:
Body:
009011022340 [851710,35; 1011575,67]
009011022300 [852153,38; 1011704,38]
Měřené hodnoty:
ω1 = 41,4410 gon
ω2 = 125,0553 gon
Určit: Bod 229
Výpočet:
Výpočet délky s230,234:
Výpočet délky s230,229:
Výpočet směrníku σ230, 234 :
Bod 234 leží vzhledem k bodu 230 ve 3. kvadrantu, jak vyplývá ze souřadnicových rozdílů.
Výpočet směrníku σ230, 229 :
Výpočet souřadnic bodu 229:
Dáno: PA[yA, xA], PB[yB, xB], P1[y1, x1], P2[y2, x2]
Měřeno: Směry ψ1, ψ2, ψ3, ψ4
Určit: bod P3[y3, x3]
Použití: Používá se například v situaci, kdy mezi body P1 a P2 je překážka bránící viditelnosti, a tedy není možné použít protínání vpřed z úhlů.
Výpočet převedením na protínání z úhlů
Určení ω1, ω2 z měřených směrů:
Určení σ13 , σ23
σ1A , σ2B se určí podle (4). Je opět potřeba dát pozor na to, aby body P2, B, P3 a P1, P3, A šly po směru hodinových ručiček v tomto pořadí, jinak se mění znaménka u úhlu ω .
Určení s13 , s23
Analytické řešení
Bod P3 se určí jako průsečík dvou přímek; první prochází bodem P1 a její směrnici lze vyjádřit pomocí směrníku α13 , druhá analogicky prochází bodem P2 a její směrnici určíme ze směrníku α23 . V levotočivé kartézské soustavě platí pro směrnici (pozor na pořadí všech indexů!):
Platí tedy:
Odečtením (11) od (10) dostaneme:
Z (9), (11) a (12) plyne:
Kde
Příklad
Dáno:
Body:
009011022340 [851710,35; 1011575,67]
009011022300 [852153,38; 1011704,38]
009011022280 [853128,14; 1011772,96]
009011022300 [852153,38; 1011704,38]
Měřené hodnoty:
ψ1 = 35,3177 gon
ψ2 = 159,3992 gon
ψ3 = 137,7716 gon
ψ4 = 262,8269 gon
Určit: Bod 229
Výpočet:
Určení úhlů ω1 a ω2 :
Určení směrníků σ230,229, σ228,229:
Určení s230,229, s228,229:
Výpočet souřadnic bodu 229:
Dáno:
body P1[y1, x1], P2[y2, x2]
Měřeno:
délky s13, s23
Určit:
bod P3[y3, x3]
Použití: Protínání vpřed z délek použijeme, pokud jsou zaměřeny délky ze známých stanovisek na neznámý bod. Předpokládáme, že měřené délky jsou již opraveny o fyzikální a matematické redukce.
Postup řešení:
Úlohu vyřešíme převodem na rajón.
s12, σ12, σ21 získáme výpočtem ze souřadnic.
kde ω1, ω2 vypočteme kosinovou větou:
Příklad
Dáno:
Body:
009011022020 [853704,65; 1011445,66]
009011022290 [852501,72; 1011270,35]
Měřené hodnoty:
s202, 226 = 703,84m
s229, 226 = 846,61m
Určit:
Bod 226
Výpočet:
Určení s202, 229 , σ202, 229 , σ229, 202 ze souřadnic:
Výpočet ω1a ω2 z kosinové věty:
Určení směrníků σ202, 229 , σ229, 202:
Určení souřadnic bodu 226:
Dáno:
body P1[y1, x1], P2[y2, x2], P3[y3, x3]
Měřeno:
úhly ω1a ω2
Určit:
bod P4[y4, x4]
Použití: Protínání zpět použijeme v situaci, kdy na stanovišti, jehož souřadnice neznáme, zaměříme na tři body, jejichž souřadnice známe. Je však třeba dávat pozor, aby všechny tyto čtyři body neležely na jedné kružnici. Pak totiž úloha nemá řešení. Tři body, na které zaměřujeme, tedy jednoznačně určují tzv. nebezpečnou kružnici, v jejímž okolí nesmí ležet naše stanoviště (tedy měřený bod). Pokud by taková situace nastala, je potřeba měřit na jiné body, protože při měření bodů ležících blízko nebezpečné kružnice je výsledek výpočtu velice nepřesný! Nejlepší situace nastává, pokud určovaný bod leží uvnitř nebezpečné kružnice. Limitní hodnoty úhlů, pro které dává protínání zpět rozumné výsledky, jsou: 30 gon < ωi < 270 gon .
Proto touto metodou neurčujeme body ZPBP ani body PPBP 1. třídy přesnosti.
Řešení pomocí Colinsova bodu
Řešení spočívá v tom, že si nejprve najdeme pomocný (Colinsův) bod, který je průsečíkem kružnice určené 3 body (2 známé, P4) a přímky určené dvěma body (zbylým známým a opět P4 ). Pomocí tohoto bodu pak najdeme souřadnice neznámého bodu. Poznámka: Při řešení úlohy se využívá skutečnosti, že velikost obvodového úhlu nad tětivou kružnice je stejná pro libovolný bod kružnice. Konkrétně potom např. platí:
(jsou to úhly nad tětivou P1C).
Nalezení Colinsova bodu:
kde
Nalezení bodu P4 : Bod se nalezne protínáním vpřed z úhlů z bodů P1 a C. K tomu je potřeba nejprve určit úhly ψ, φ :
a konečně
kde směrníky σ13, σC1, σC2, σC3 se určí dle (4) a délka s13 dle (2).
Poznámka
Pro ω1, ω2> R se dosazuje do výpočtů
Příklad
Dáno:
Body:
009011022020 [853704,65; 1011445,66]
009011022290 [852501,72; 1011270,35]
009011022320 [851874,53; 1010783,03]
Měřené hodnoty:
ω1 = 46,4243 gon
ω1 = 61,7646 gon
Určit:
Bod 230
Výpočet:
Výpočet směrníku σ202, 232 a délky s202, 232 ze souřadnic:
Výpočet souřadnic Colinsova bodu:
Určení směrníků σc, 202 , σC, 229 , σC, 232 ze souřadnic:
Určení veličin potřebných k výpočtu souřadnic bodu 230:
Výpočet souřadnic bodu 230:
Cassiniho řešení
Postup řešení:
Výpočet bodů A, B protínáním vpřed z úhlů:
Platí:
Tedy po dosazení:
V dalších výpočtech budeme však potřebovat souřadnicové rozdíly, tedy:
analogicky upravíme ostatní výrazy a dostaneme:
výpočet směrnice přímky p = AB :
výpočet směrnice přímky q = P2P4 :
výpočet souřadnic bodu P4 protínáním vpřed ze směrů:
Příklad
Dáno:
Body:
009011022020 [853704,65; 1011445,66]
009011022290 [852501,72; 1011270,35]
009011022320 [851874,53; 1010783,03]
Měřené hodnoty:
ω1 = 46,4243 gon
ω2 = 61,7646 gon
Určit: Bod 230
Výpočet:
Určení souřadnic bodů A, B:
Určení souřadnicových rozdílů:
Výpočet směrnice přímky 229-230:
Výpočet souřadnic bodu 230:
Pokud potřebujeme určit vzdálenost mezi dvěma nepřístupnými body, volíme dva body pomocné, mezi kterými je možné vzdálenost určit. Spojnice těchto bodů by měla být přibližně rovnoběžná se spojnicí nepřístupných bodů, tj. bodů mezi nimiž potřebujeme určit vzdálenost. Na pomocných bodech se změří vodorovné úhly. Tyto úhly nesmí být příliš ostré ani příliš tupé. Toho docílíme zvolením vhodné vzdálenosti mezi spojnicemi pomocných a nepřístupných bodů.
Dáno:
body P1[y1, x1], P2[y2, x2],
Měřeno:
úhly ω1, ω2, ω3, ω4
Poznámka
Pokud bychom neznali souřadnice pomocných bodů P1 a P2, je třeba ještě změřit délku s12 !
Určit:
délku s34
Krasovského metoda
Zvolíme pomocný souřadnicový systém tak, že jeho počátek vložíme do bodu P2 a kladnou osu x do spojnice P2 – P1.
Souřadnice bodů P3 a P4 se určí protínáním z úhlů v pomocné souřadnicové soustavě.
Výpočet vodorovné délky:
Příklad
Dáno:
Body:
009011022020 [853704,65; 1011445,66]
009011022280 [853128,14; 1011772,96]
Měřené hodnoty:
ω1 = 47,5100 gon
ω2 = 42,0849 gon
ω3 = 57,4468 gon
ω4 = 66,6347 gon
Určit:
Délku s229,226
Výpočet:
Výpočet souřadnic bodů v pomocné souřadnicové soustavě
Výpočet délky s229,226 :
