7.4. Polygonové pořady

Polygonové pořady se používají k určování souřadnic bodů podrobného polohového bodového pole.

Geometrické parametry a kriteria přesnosti polygonových pořadů

Obrázek 7.18. tab. 7.1 – Geometrické parametry a kriteria přesnosti polygonových pořadů dle [35]

tab. 7.1 – Geometrické parametry a kriteria přesnosti polygonových pořadů dle [35]

Poznámka

n počet bodů pořadu včetně bodů připojovacích

Σs součet délek stran pořadu

Mezní poměr délek sousedních stran je 1:3 [35].

Poznámka k označovaní veličin

V polygonových pořadech budou veličiny označeny následovně:

P - počáteční bod polygonového pořadu se známými souřadnicemi P[YP, XP]

1, 2, ..., n - neznámé body polygonového pořadu

n je tedy počet neznámých bodů polygonu, celkový počet bodů polygonu je u volného a uzavřeného n+1, jinak n+2.

K - koncový bod polygonového pořadu, pokud má známé souřadnice K[YK, XK]

A, B - připojovací body polygonového pořadu (počáteční a koncový)

ωi - měřený levostranný úhel na bodě i (platí i=0 ... bod P, i=n+1 ... bod K) ωP = ω0 - úhel na bodu P mezi připojovacím bodem A a prvním bodem polygonu

ωKn+1 - úhel na bodu K mezi posledním bodem polygonu a připojovacím bodem B

Poznámka

je nutné, aby měřené úhly ω byly levostranné, jinak výpočet nebude vycházet! Určované veličiny jsou u všech polygonových pořadů souřadnice bodů 1, 2, ..., n.

7.4.1. Volný polygonový pořad

Obrázek 7.19. obr. 7.18 – Volný polygonový pořad

obr. 7.18 – Volný polygonový pořad

Dáno:

body A, P

Měřeno:

úhly ωP, ω1, ω2, ...

strany sP1, s12, s13, ...

Výpočet připojovacího směrníku z bodu P na bod 1

Pokud je na bodu P měřena pouze 1 orientace, je výpočet jednoduchý:

Pokud je na bodu P měřeno více orientací, je vhodnější použít postup uvedený v kapitole vyrovnání směrníku.

Výpočet směrníků stran polygonového pořadu

Směrník na daném bodě můžeme vždy snadno spočítat ze směrníku na bodě předcházejícím a z měřeného levostranného úhlu:

Platí:

To lze zobecnit i pro další úhly, obecně tedy potom platí:

Výpočet souřadnicových rozdílů

Souřadnicové rozdíly z bodu P na bod 1 nyní snadno spočítáme, protože známe směrník i vzdálenost. Tím určíme souřadnice bodu 1. Z něj pak můžeme stejným postupem získat souřadnice bodu 2 atd. Nejprve si tedy spočítáme souřadnicové rozdíly a z nich potom postupně souřadnice jednotlivých bodů.

výše uvedené vztahy lze potom sepsat do obecného vzorce:

Uvažujeme-li bod P jako bod 0 tak vyjdou jednodušší tvary:

V tomto typu polygonového pořadu se však hromadí chyby a není zde žádná kontrola. Proto lze takto počítat maximálně tři body. Opodstatněné speciální použití je pak při zaměřování v podzemních prostorách, kde se pak používají speciální gyroteodolity, aby se omezila hromadící se úhlová chyba.

Příklad

Obrázek 7.20. obr. 7.19 – Volný polygonový pořad (příklad)

obr. 7.19 – Volný polygonový pořad (příklad)

Dáno:

Body: 4007 [818095,44; 1070517,76], 4004 [818277,21; 1070443,97]

Naměřené hodnoty:

ω1 = 195,418 gon

ω2 = 236,8006 gon

s4007, 4010 = 130,392m

s4010, 4005 = 151,040m

Určit:

4010 [Y, X], 4005 [Y, X]

Výpočet:

  1. Výpočet připojovacího směrníku:

  2. Výpočet směrníků stran polygonového pořadu:

  3. Výpočet souřadnic bodů polygonového pořadu:

7.4.2. Uzavřený polygonový pořad

Obrázek 7.21. obr. 7.20 – Uzavřený polygonový pořad

obr. 7.20 – Uzavřený polygonový pořad

Dáno:

body P, A

Měřeno:

úhly ωP, ωK, ω1, ω2, ...

strany sP1, s12, s23, ... Pozor na označení úhlů ωP a ωK! Abychom měli jednotné označení pro všechny druhy polygonů (a tím i stejné vzorce), úhel ωP musí být úhel mezi připojovacím bodem a prvním bodem polygonu, ne vrcholový úhel polygonu! Ten označujeme ωK. Číslo n označuje počet neznámých bodů, celkový počet vrcholů mnohoúhelníka je tedy n+1!

Úhlové vyrovnání

Měří se levostranné úhly, tedy v závislosti na orientaci polygonového pořadu měříme buďto vnitřní nebo vnější úhly m-úhelníku. Pro konvexní m-úhelník platí (pro vnitřní, respektive vnější úhly, m ... počet vrcholů):

Tento vztah přepíšeme pro náš polygonový pořad. Počet neznámých bodů v polygonu označuje n, tedy i s bodem P platí m = n + 1. Úhly sčítáme pro i = 1..n a pro vrcholový úhel na bodu P (ωK = ωn+1). Tedy:

V důsledku měřických chyb těchto hodnot však nedosáhneme. Spočítáme tedy tzv. úhlový uzávěr:

Tuto hodnotu porovnáme s dopustnou odchylkou Δω. Je-li spočítaná odchylka v absolutní hodnotě větší než dopustná, je měření chybné, jinak provedeme úhlové vyrovnání (rozdělíme odchylky rovnoměrně na všechny úhly kromě úhlu ωP, který není vrcholovým úhlem m-úhelníka):

V dalších výpočtech již pracujeme pouze s vyrovnanými úhly (nepíšu nad již pruh)!

Výpočet vyrovnaných směrníků jednotlivých stran

Nejprve spočítám směrník z bodu P na bod 1:

Pak můžeme počítat směrníky jednotlivých dalších stran polygonového pořadu:

obecně potom (stejně jako u volného pořadu)

Výpočet souřadnicových rozdílů

Vyjdeme ze stejných vztahů, ke kterým jsme došli u volného pořadu:

Tyto rovnice musí platit i pro poslední bod, tedy opět pro bod P:

Mělo by tedy platit:

Vlivem měřických chyb nám však vyjdou určité souřadnicové odchylky OY, OX, spočítáme tedy polohovou odchylku Op (odchylka je však hodnota „mělo vyjít“ – „vyšlo“, tedy zde 0 – „vyšlo“, proto záporné znaménko):

Tuto hodnotu porovnáme s maximální dopustnou polohovou odchylkou ΔP. Pokud je vypočítaná odchylka menší, měřili jsme správně a můžeme provést souřadnicové vyrovnání.

Souřadnicové vyrovnání

Zatímco při úhlovém vyrovnání jsme rozdělili odchylky rovnoměrně, zde je budeme odchylky rozdělovat poměrně délkám jednotlivých úseků. Tedy delší strany budou mít větší opravu než kratší strany. Toto vyrovnání budeme dělat zvlášť pro obě souřadnice.

Nyní již z vyrovnaných souřadnicových rozdílů snadno spočítáme výsledné souřadnice:

Příklad

Obrázek 7.22. obr. 7.21 – Uzavřený polygonový pořad (příklad)

obr. 7.21 – Uzavřený polygonový pořad (příklad)

Dáno:

Body:

4007 [818095,44; 1070517,76]

4003 [818318,08; 1070650,87]

4013 [818122,04; 1070673,68]

Naměřené hodnoty:

Určit: 4006 [Y, X], 4010 [Y, X], 4001 [Y, X], 4009 [Y, X], 4011 [Y, X], 4005 [Y, X]

Výpočet:

  1. Výpočet vyrovnaného směrníku počátku na počátečním bodě polygonu:

  2. Úhlové vyrovnání:

  3. Výpočet vyrovnaných směrníků:

  4. Výpočet souřadnicových rozdílů:

  5. Souřadnicové vyrovnání:

  6. Výpočet souřadnic bodů polygonového pořadu (pro kontrolu se počítají také souřadnice bodu 4013):

7.4.3. Vetknutý polygonový pořad (oboustranně připojený)

Obrázek 7.23. obr. 7.22 – Vetknutý polygonový pořad

obr. 7.22 – Vetknutý polygonový pořad

Dáno:

počáteční bod P, koncový bod K

Měřeno:

úhly a délky mezi jednotlivými body polygonu ωi a si,i+1

Protože v tomto případě nemůžeme spočítat připojovací směrník, řeší se tato úloha nejlépe transformací souřadnic: nejprve spočítáme souřadnice v místním souřadnicovém systému, a pak celý tento souřadnicový systém transformujeme tak, aby si odpovídaly koncové body polygonu v obou souřadnicových systémech. Používá se lineární transformace – ta umožňuje polygon otočit (abychom jej otočili na správný bod K), změnit měřítko (tím se opraví chyby měření délek stran) a posunout (posun do bodu P, v pomocném souřadnicovém systému (SS) začínáme v bodě [0, 0]).

Výpočet v pomocném SS

Nový souřadnicový systém má počátek v bodě P = P’[0, 0] a kladná osa x´ je vložena do první polygonové strany. Souřadnice bodu 1´ jsou pak [0, sP1] V tomto SS snadno spočítáme souřadnice dalších bodů jako u volného polygonového pořadu, kde připojovací směrník σP1 je 0 (viz obrázek 7.14). Podle kapitoly výpočet volného polygonového pořadu tedy spočítáme souřadnice bodů 2’, 3’ a posledního bodu K’. Před transformací je třeba ještě porovnat vzdálenost identických bodů P, K vypočtenou ze souřadnic v původním i místním SS. Z rozdílu délek se určí délková odchylka, která se porovná s dopustnou odchylkou:

Obrázek 7.24. obr. 7.23 – Výpočet v pomocném souřadnicovém systému

obr. 7.23 – Výpočet v pomocném souřadnicovém systému

Transformace SS

Rovnice lineární transformace má v levotočivém systému tvar:

Zde jsou 4 neznámé ΔX, ΔY, m a φ. Máme 2 body, tedy 4 souřadnice, a mohli bychom tedy sestavit 4 rovnice o 4 neznámých a jejich řešením zjistit koeficienty transformace. Zde však uvedu, jak koeficienty spočítat postupně snadněji. Koeficienty ΔX a ΔY známe, jsou to souřadnice bodu P, abychom zajistili, že se posune P’[0, 0] do P[YP, XP] (je současně středem otáčení).

Nyní určím současně zvětšení a koeficienty rotace. Rovnici transformace si přepíšeme na tvar:

Nyní vyjádříme a1 a a2:

Nyní můžeme transformovat všechny body polygonu (kontrolně též bod K) podle vzorců:

Příklad

Obrázek 7.25. obr. 7.24 – Vetknutý polygonový pořad (příklad)

obr. 7.24 – Vetknutý polygonový pořad (příklad)

Dáno:

Body:

4007 [818095,44; 1070517,76]

4011 [917740,62; 1070693,61]

Naměřené hodnoty:

Určit: 4010 [Y, X], 4005 [Y, X]

Výpočet:

  1. Výpočet směrníků v pomocném SS:

  2. Výpočet souřadnicových rozdílů v pomocném SS:

  3. Výpočet souřadnic bodů PP v pomocném SS:

  4. Porovnání rozdílu délek identických bodů s dopustnou odchylkou:

  5. Určíme transformační koeficienty:

  6. Vypočteme souřadnice bodů PP:

7.4.4. Polygonový pořad oboustranně připojený a jednostranně orientovaný

Obrázek 7.26. obr. 7.25 – Oboustranně připojený a jednostranně orientovaný polygonový pořad

obr. 7.25 – Oboustranně připojený a jednostranně orientovaný polygonový pořad

Dáno:

body P, K, A

Měřeno:

úhly ωP, ω1, ω2, ...

strany sP1, s12, s23, ...

Výpočet se provede podobně jako u uzavřeného pořadu: nejprve si spočítám připojovací směrník, pak postupně směrníky jednotlivých stran a souřadnicové rozdíly. Koncový bod mi vyjde vlivem měřických chyb vedle, takže se provede souřadnicové vyrovnání.

Výpočet směrníků

Směrník první strany se vypočítá podle vztahu:

Další směrníky potom (vysvětlení viz uzavřený polygonový pořad):

Výpočet souřadnicových rozdílů a souřadnicové vyrovnání

Postup je analogický jako u uzavřeného pořadu. Pomocí směrníků a délek stran spočítám jednotlivé souřadnicové rozdíly ΔXi-1,i, ΔYi-1,i.

Pro poslední bod pak musí platit:

Mělo by tedy platit:

Vlivem měřických chyb nám však vyjdou určité souřadnicové odchylky OY, OX, spočítáme tedy polohovou odchylku Op:

Tuto hodnotu porovnáme s maximální dopustnou polohovou odchylkou ΔP. Pokud je vypočítaná odchylka menší, měřili jsme správně a můžeme provést souřadnicové vyrovnání.

Opět budeme rozdělovat odchylky podle délky strany polygonového úseku v dané souřadnici. Jinou možností by bylo rozdělovat chybu podle celkové délky polygonového pořadu.

Nyní již z vyrovnaných souřadnicových rozdílů snadno spočítám výsledné souřadnice:

Kontrolou výpočtu je porovnání vypočítaných souřadnic bodu K se zadanými. Hodnoty by se měly lišit jen o zaokrouhlovací chyby.

Příklad

Obrázek 7.27. obr. 7.26 - Oboustranně připojený a jednostranně orientovaný polygonový pořad (příklad)

obr. 7.26 - Oboustranně připojený a jednostranně orientovaný polygonový pořad (příklad)

Dáno:

Body:

4007 [818095,44; 1070517,76]

4011 [917740,62; 1070693,61]

4004 [818277,21; 1070443,97]

Naměřené hodnoty:

Určit: 4010 [Y, X], 4001 [Y, X], 4009 [Y, X] Výpočet:

  1. Výpočet připojovacího směrníku:

  2. Výpočet směrníků stran PP:

  3. Výpočet souřadnicových rozdílů:

  4. Souřadnicové vyrovnání:

  5. Výpočet souřadnic bodů PP:

7.4.5. Polygonový pořad oboustranně polohově připojený a oboustranně orientovaný

Obrázek 7.28. obr. 7.27 – Oboustranně připojený a oboustranně orientovaný polygonový pořad

obr. 7.27 – Oboustranně připojený a oboustranně orientovaný polygonový pořad

Dáno:

body P, K, A, B

Měřeno:

úhly ωP, ω1, ω2, ... ωN, ωK

strany sP1, s12, s23, ...

Postup výpočtu

  1. Výpočet připojovacího směrníku a směrníků stran.

  2. Úhlové vyrovnání (rovnoměrně na všechny úhly).

  3. Výpočet souřadnicových rozdílů.

  4. Souřadnicové vyrovnání (úměrné délkám stran).

  5. Výpočet jednotlivých souřadnic.

Všechny uvedené postupy již byly vysvětleny v předcházejících částech, takže postup výpočtu již bude pouze stručný.

Výpočet připojovacího směrníku a směrníků stran

Směrník první strany se spočítá podle vztahu

Další směrníky potom:

Koncový směrník σKB má potom velikost

Úhlové vyrovnání

Na konci polygonového pořadu nám vyjde směrník σKB vypočítaný z měřených úhlů rozdílný od směrníku

vypočítaného ze souřadnicových rozdílů bodů K a B. Rozdíl těchto hodnot tvoří úhlový uzávěr Oω, který se rovnoměrně rozloží na všechny měřené úhly ωi. Tím získáme vyrovnané úhly

, které se budou používat pro výpočet souřadnicových rozdílů.

Opět je nutné zkontrolovat, zda je velikost odchylky Oω menší než dopustná odchylka Δω.

(chyby se rozdělují na úhly n neznámých bodů, ale i na ωP, ωK, proto n+2).

Vyrovnané úhly se spočítají snadno, z nich se potom určí vyrovnané směrníky

Výpočet souřadnicových rozdílů a souřadnicové vyrovnání

Je naprosto totožné s výpočtem jednostranně připojeného polygonového pořadu, jen do výpočtu souřadnicových rozdílů vstupují vyrovnané směrníky

Příklad

Obrázek 7.29. obr. 7.28 - Oboustranně připojený a oboustranně orientovaný polygonový pořad (příklad)

obr. 7.28 - Oboustranně připojený a oboustranně orientovaný polygonový pořad (příklad)

Dáno:

Body:

4013 [818122,04; 1070673,68]

4011 [917740,62; 1070693,61]

4003 [818318,08; 1070650,87]

4012 [817648,60; 1070776,00]

Naměřené hodnoty:

Určit: 4006 [Y, X], 4010 [Y, X], 4001 [Y, X], 4009 [Y, X]

Výpočet:

  1. Výpočet připojovacích směrníků:

  2. Úhlové vyrovnání:

  3. Výpočet vyrovnaných směrníků stran PP:

  4. Výpočet souřadnicových rozdílů:

  5. Souřadnicové vyrovnání:

  6. Výpočet souřadnic bodů PP:

7.4.6. Nepřímo připojený polygonový pořad

Tato metoda se použije v případě, že u polygonového pořadu je nepřístupný první nebo poslední bod (popřípadě oba). Tato situace může nastat například pokud je počátečním bodem polygonového pořadu kostel. Určení nepřístupné vzdálenosti u prvního (posledního) bodu mi pak umožní polygonový pořad přeci jenom spočítat, a to jako jednostranně orientovaný, případně vetknutý.

Obrázek 7.30. obr. 7.29 – Nepřímo připojený polygonový pořad

obr. 7.29 – Nepřímo připojený polygonový pořad

Zvolím si pomocnou základnu z, ze které je viditelnost na bod P i bod 1, a na bod 1 lze měřit vzdálenost. Potom změřím úhel ωA, ω1A a velikost pomocné základny z. Pomocí sinové věty pak snadno určím nepřístupnou vzdálenost.

Trojúhelník P1A by měl být rovnostranný, nebo alespoň rovnoramenný. Pro kontrolní výpočet délky připojovací strany je nutné použít alespoň dvě nezávislá řešení, tzn. různé pomocné body a tedy i více pomocných základen.

Příklad

Dáno:

Body:

43 [824719,46; 1060965,72]

4028 [824740,76; 1060666,75]

Naměřené hodnoty:

Určit: 4007 [Y, X], 4022 [Y, X], 4031 [Y, X], 4029 [Y, X]

Obrázek 7.31. obr. 7.30 - Nepřímo připojený polygonový pořad (příklad)

obr. 7.30 - Nepřímo připojený polygonový pořad (příklad)

Výpočet:

  1. Výpočet nepřístupné délky s43,4007:

  2. Výpočet směrníků stran PP v pomocném SS:

  3. Výpočet souřadnic v pomocném SS:

  4. Porovnání rozdílu délek identických bodů s dopustnou odchylkou:

  5. Výpočet koeficientů transformace:

  6. Výpočet souřadnic bodů PP (pro kontrolu také koncového bodu PP):