Při měření geodetických veličin se mohou vyskytnout dva druhy chyb:
chyby hrubé,
chyby nevyhnutelné.
Hrubé chyby je nutné z měření vyloučit. K tomu nám slouží opakování měření. Chyby nevyhnutelné se vyskytují při každém měření. Dále se dělí na chyby nahodilé a chyby systematické.
Chyby systematické zatěžují měření stále stejnou hodnotou jistého znaménka. Jejich vliv se proto snažíme co nejvíce potlačit zvolenou metodou měření nebo vhodným matematickým postupem (viz Analýzy chyb při měření v 5. a 6. kapitole). [47]
Chyby nahodilé se řídí zákonitostmi náhodného jevu (předpokládáme velký soubor měření):
Je pravděpodobnější, že se vyskytne malá chyba než chyba velká.
Pravděpodobnost výskytu kladné i záporné chyby stejné absolutní velikosti je stejná.
Chyby překračující určitou mez se nevyskytují.
Tyto zákonitosti lze vyjádřit také graficky:
Plocha mezi křivkou a osou velikosti chyb se nazývá Gaussův klobouk. Pravděpodobnost, že se chyba vyskytne na ploše Gaussova klobouku je rovna 1.
Abychom určili nejpravděpodobnější hodnotu z hodnot naměřených (liší se v důsledku nahodilých chyb), provádíme měření v nadbytečném počtu, což nám následně umožňuje naměřené hodnoty vyrovnat. Při vyrovnání zohledňujeme podmínku metody nejmenších čtverců (MNČ):
Pokud měření nebyla provedena se stejnou přesností, zavádíme pro každé měření tzv. váhu měření (číslo, které charakterizuje přesnost naměřené hodnoty. Tato hodnota je subjektivní – určuje ji měřič – a leží obvykle v intervalu <0,1>. Platí: čím je měření přesnější, tím je váha větší.) Potom podmínka MNČ má tvar
Pro jednoduchost výkladu budeme používat maticový zápis, tedy:
Vyrovnání budeme rozeznávat trojího druhu (podle způsobu měření):
Vyrovnání měření přímých.
Vyrovnání měření podmínkových.
Vyrovnání měření zprostředkujících.
Zavedení symbolů li naměřená hodnota
vi oprava naměřené hodnoty
Īi naměřená hodnota opravená o opravu
pi váha naměřené hodnoty
i= 1,.., n index měření (n je počet měření)
Platí:
Jedná se o nejjednodušší typ vyrovnání. Tento způsob vyrovnání využijeme, pokud máme změřenu jedinou veličinu nezávisle vícekrát. Veličina může být měřena buď ve všech případech se stejnou přesností (matice vah P je jednotková) nebo s různou přesností při jednotlivých měřeních (např. použijí se různě přesné přístroje, měří různí měřiči, atd.).
Obecný postup Máme naměřeny hodnoty l1,.., ln . Ke každému měření přísluší váha pi. Nejpravděpodobnější hodnota je vážený aritmetický průměr.
Pokud platí, že
tedy aritmetický průměr.
Opravy získáme ze vztahu
Střední chyba jednoho měření
Střední chyba nejpravděpodobnější hodnoty
Opět pokud platí, že
Příklad
Dáno:
Naměřené hodnoty:
Váhy: pi = 1, pro i = 1,…,10
Určit: x, m0, mx
Výpočet:
Nejpravděpodobnější hodnota:
Opravy vi = x - li
Střední chyba jednoho měření:
Střední chyba nejpravděpodobnější hodnoty:
Mezi naměřenými veličinami platí určité podmínky. Tyto podmínky musí být navzájem nezávislé. Působením nahodilých chyb však naměřené veličiny nesplňují přesně dané podmínky, proto musíme provést jejich vyrovnání, tak aby výsledné veličiny opravené o opravy zjištěné v průběhu vyrovnání již tyto podmínky splňovaly.
Způsoby stanovení podmínek
Podmínky vyjadřujeme prostřednictvím podmínkových rovnic. Jejich počet je roven počtu nadbytečných měření (nadbytečná měření = všechna měření – nutná měření). Existují tyto základní typy podmínkových rovnic:
trojúhelníkové,
stranové,
závěrové,
základnové.
trojúhelníkové podmínkové rovnice
Součet úhlů v trojúhelníku je roven 2R.
Na obrázku je trojúhelník s měřenou stranou a třemi úhly. Počet nadbytečných měření je 1 -> sestavíme 1 podmínkovou rovnici:
stranové podmínkové rovnice
Ve čtyřúhelníku s oběmi úhlopříčkami si zvolíme jeden bod pólem. Všechny strany označíme šipkami (začneme stranami vycházejícími z pólu). Zlomek, v jehož čitateli jsou součiny sinů úhlů čtyřúhelníka, které jsou při postupu podle šipek – vycházíme z pólu – průchozí a ve jmenovateli jsou součiny sinů úhlů ostatních, je roven 1.
Na obrázku je čtyřúhelník s měřenou stranou a osmi úhly. Počet nadbytečných měření je 4 -> sestavíme 4 podmínkové rovnice:
závěrové podmínkové rovnice
Závěrové podmínkové rovnice si vysvětlíme na obrázku.
Pro obrázek a) sestavíme závěrovou podmínkovou rovnici
pro obrázek b) závěrovou podmínkovou rovnici
základnové podmínkové rovnice
Základnovou podmínkovou rovnicí je zlomek
Obecný postup
Máme naměřeny hodnoty l1, ..., ln.
Ke každému měření přísluší váha pi. Zjistíme počet nadbytečných měření (odpovídá počtu podmínkových rovnic). Sestavíme podmínkové rovnice:
Je třeba, aby tyto rovnice byly nezávislé a lineární. Pokud rovnice není lineární, je nutné ji linearizovat (rozvojem podle Taylora – ponecháme 1. člen a přírůstky 1. řádu). Dostaneme tzv. přetvořené podmínkové rovnice.
Člen
kde Ui je uzávěr.
Členy
označíme jako ai,
označíme jako bi, atd.
Pak můžeme psát:
(Počet rovnic je roven počtu nadbytečných měření!).
Tuto soustavu rovnic zapíšeme maticově:
Protože podmínková měření musí kromě podmínkových rovnic splňovat i podmínku MNČ, připojíme tuto podmínku k podmínkovým rovnicím.
… minimalizace Lagrangeovy funkce,kde k je vektor Lagrangeových koeficientů.
Minimalizaci Lagrangeovy funkce zderivujeme podle v:
Dále rovnici vydělíme 2 a zleva vynásobíme P-1:
(14) dosadíme do (13) a po úpravě:
Při výpočtu se nejprve počítá k a poté v. Vyrovnané hodnoty vypočteme ze vztahu:
Střední jednotková chyba
, kde r je počet nadbytečných měření.
Střední chyba vyrovnaných veličin
Příklad
Dáno:
Naměřené hodnoty:
Váhy: pi = 1, pro i = 1,…,8
Určit:
Výpočet:
Výpočet počtu nadbytečných měření:
n = 9, nutných měření je 5, nadbytečných měření je 4
Sestavení podmínkových rovnic:
Linearizace rovnic, výpočet uzávěrů a výpočet matice B:
Výpočet Lagrangeových keoficientů:
Výpočet oprav
Výpočet vyrovnaných hodnot
Střední chyba jednoho měření:
Střední chyba vyrovnaných veličin:
Při tomto druhu měření měříme veličiny (zprostředkující), které jsou ve funkčním vztahu s veličinami, jež chceme zjistit.
Obecný postup
Máme změřeny veličiny l1, ..., ln. . Ke každému měření přísluší váha pi. Nejprve najdeme funkční vztahy mezi naměřenými veličinami a hledanými neznámými. Tím získáme zprostředkující rovnice.
Po dosazení měřených veličin do zprostředkujících rovnic získáme přibližné hodnoty hledaných neznámých , které nám následně poslouží k výpočtu absolutních členů rovnic oprav.
Platí:
Do původních zprostředkujících rovnic dosadíme za hledané neznámé jejich přibližné hodnoty a diference. Funkci
rozvedeme podle Taylorovy věty v řadu a získáme rovnice oprav:
Členy
označíme ai1, .. ,aik . Člen
označíme (absolutní člen).
Rovnici oprav pak můžeme zapsat následovně:
Maticový zápis
Soustavu linearizovaných rovnic oprav řešíme podle podmínky MNČ:
Následuje výpočet hledaných neznámých:
Střední jednotková chyba
, kde r je počet nadbytečných měření. Střední chyba vyrovnaných neznámých
Příklad
Dáno:
Výšky bodů:
Naměřené hodnoty:
Váhy: pi = 1/si, pro i = 1,…,8
Určit: P1, P2, P3, P4, m0, mxi
Výpočet:
Sestavíme zprostředkující rovnice:
Hledané neznámé Pi nahradíme Pi0 + dhi:
Sestavíme rovnice oprav v = A* dx + L:
Vypočteme přibližné hodnoty hledaných neznámých:
Vypočteme hodnotu koeficientů rovnic oprav:
Určíme váhy jednotlivých měření pi = 1/si:
Vypočteme opravy přibližných hodnot neznámých veličin
Vypočteme hledané neznámé
Vypočteme vektor oprav v = A*dx + L (hodnoty jsou uvedeny v mm):
Určíme střední jednotkovou chybu:
Určíme střední chyby vyrovnaných neznámých
Další druhy vyrovnání jsou probírány v předmětu Geodetické sítě a metody vyrovnání. Uvedené druhy vyrovnání je možné řešit i jinými postupy uvedenými např. v [62], [64], [66].
[47] Dále se budeme zabývat pouze chybami nahodilými, jejichž vliv je po omezení vlivu chyb systematických značně větší.