11. Zobrazení užitá pro ČSR a ČR

11.1. Historie mapování na našem území
  11.1.1. Topografická vojenská mapování (1763 - 1883)
  11.1.2. Katastrální mapy bývalého Rakouska-Uherska
  11.1.3. Prozatímní vojenské mapování (1923 - 1933)
  11.1.4. Definitivní vojenské mapování (1934 - 1938)
  11.1.5. Státní mapová díla ČSR (po r. 1945)
  11.1.6. Vojenské topografické mapy (od r. 1953)
  11.1.7. Základní mapa středního měřítka
11.2. Jednotlivá zobrazení
  11.2.1. Sanson-Flamsteedovo zobrazení
  11.2.2. Benešovo zobrazení
  11.2.3. Cassini-Soldnerovo zobrazení
  11.2.4. Gauss-Krügerovo zobrazení (Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech)
  11.2.5. Křovákovo zobrazení
11.3. Návrhy zobrazení pro ČSR  !! Nové !!

11.1. Historie mapování na našem území

11.1.1. Topografická vojenská mapování (1763 - 1883)

Mapová díla vzniklá za vojenských mapování mají dodnes svůj historický význam, a to zejména pro studium vývoje krajiny.

První vojenské mapování (tzv. josefské) z let 1763 - 1785 bylo na území monarchie prováděno v měřítku 1:28 800. Mapy však nebyly vyhotovovány na podkladě žádných geodetických základů.

Pro druhé vojenské mapování (tzv. Františkovo) z let 1806 - 1869 již byly jako grafický podklad užity katastrální mapy stabilního katastru v měřítku 1: 2 880 vyhotovené ve zobrazení Cassini-Soldnerově. Pro naše území byly 3 souřadnicové systémy - gusterberský pro Čechy, vídeňský pro Moravu a budapešťský pro Slovensko.

Z těchto map byla dále odvozena Speciální mapa království českého v měřítku 1: 144 000, která byla nejstarším mapovým dílem veřejným na území Čech.

Po prusko-rakouské válce v roce 1866 vznikla potřeba nových map. Začalo se tak s tzv. III. vojenským mapováním (1870 - 1883). Vykonával jej Vojenský zeměpisný ústav (VZÚ) ve Vídni v měřítku 1: 25 000. Referenční plochou byl zvolen Besselův elipsoid, rovinné souřadnice byly uváděny v souřadnicových soustavách Gusterberg a Sv. Štěpán a výšky v jadranském výškovém systému. Jednotlivé mapové sekce byly zobrazeny do roviny pomocí Sanson-Flamsteedova zobrazení.

Po roce 1918 převzal mapové podklady VZÚ v Praze od ústavu vídeňského a provedl reambulaci mapo. Ta spočívala v opravení a doplnění polohopisu metodou grafického protínání a úpravou názvosloví z německého na české. Dále byly odstraněny hrubé chyby ve výškopisu, který byl dále doplněn vrstevnicemi a kótami důležitých bodů.

Po roce 1935 pak byla do reambulovaných map speciálních v měřítku 1: 75 000 dotisknuta kilometrová souřadnicová síť Křovákova zobrazení a tyto mapy pak byly hojně užívány až do poloviny 50. let 20. století.

11.1.2. Katastrální mapy bývalého Rakouska-Uherská

Pro katastrální mapy Stabilního katastru v bývalém Rakousku-Uhersku bylo použito Cassini-Soldnerovo zobrazení. Mapy byly vyhotoveny v měřítku 1: 2 880. Referenční plochou zvolen Zachův elipsoid.

11.1.3. Prozatímní vojenské mapování (1923 - 1933)

Současně s reambulací III. vojenského mapování probíhalo tzv. prozatímní vojenské mapování. Jednalo se o mapy topografické v měřítku 1:10000 a 1:20000 (TM10, TM20). Referenční plochou byl opět zvolen Besselův elipsoid a bylo užito zobrazení Benešovo.

Zmapováno bylo pouze 3% území.

11.1.4. Definitivní vojenské mapování (1934 - 1938)

Po zavedení Křovákova zobrazení na něj přešla i vojenská správa a bylo užito pro definitivní vojenské mapování. Mapy měly pokrýt celé státní území v měřítku 1:20 000. Zmapováno však bylo pouze 7% území.

Za německé okupace v letech 1938 - 1945 byly mapovací práce pozastaveny. Mapovalo se pouze ve vojenských výcvikových prostorech a to podle německých předpisů ve zobrazení Gauss-Krügerově v měřítku 1:10000 a 1:25000.

11.1.5. Státní mapová díla ČSR (po r. 1945)

Po osvobození naší vlasti došlo k velké hospodářšké výstavbě, pro kterou bylo zapotřebí vyhotovení celostátního mapového díla. Nejprve mapovací práce prováděl Státní zeměměřický a kartografický ústav (SZKÚ), od roku 1953 pak Ústřední správa geodézie a kartografie (ÚSGK).

Mapová díla byla vyhotovena v Křovákově zobrazení a byla následující: Státní mapa ČSR 1: 10 000 (SM 10), Státní mapa ČSR 1: 5 000 (SM 5), Státní mapa 1: 5 000 hospodářská (SMH-5), Státní mapa 1: 5 000 odvozená (SMO-5), Topografická mapa 1: 10 000 (TM 10)

11.1.6. Vojenské topografické mapy (od r. 1953)

Od roku 1953 se pro vojenské topografické mapy užívalo příčné válcové konformní Gaussovo zobrazení poledníkových pásů (mezinárodní označení Gauss-Krügerovo zobrazení). Referenční plochou zvolen Krasovského elipsoid, rovinný souřadnícový systém označován S-52, později S-42, pro výšky použit baltský systém s nulovým vodočtem v Kronštadtu. Byly zobrazeny šestistupňové pásy, rovník zvolen za osu Y, základním poledníkem osa X, označení pásů počítáme od Greenwichského poledníku. Pro naše území je poledníkový pás č. 33 se základním poledníkem 15° (okrajové poledníky 12° a 18°). Délková zkreslení dosahují na okrajích pásu hodnot 62 cm/km.

11.1.7. Základní mapa středního měřítka

Od roku 1968 začaly probíhat práce na Základní mapě středního měřítka, kde byl opět použit systém S-JTSK, Křovákovo zobrazení, Besselův elipsoid a výškový systém Balt pro vyrovnání.

 

11.2. Jednotlivá zobrazení

11.2.1. Sanson-Flamsteedovo zobrazení

Pro mapová díla vyhotovená za III. vojenského mapování bylo použito polyedrické zobrazení sférických lichoběžníků, kde pro zobrazení jednotlivých části použilo nepravého sinusoidálního válcového zobrazení Sanson-Flamsteedova zobrazení.

Mapy byly v měřítku 1:25 000, 1: 75 000 (mapa speciální - 4 listy mapy 1: 25 000) a 1: 200 000 (mapa generální - 8 listů mapy speciální).

Obr. 11.1 Generální mapa 1: 200 000

11.2.2. Benešovo zobrazení

Autorem zobrazení byl plukovník Dr. L. Beneš. Jedná se o kuželové zobrazení v normální sečné poloze. Nezkresleny byly rovnoběžky 50°15´ a 48°30´. Vzhledem k normální poloze kužele dosahovalo zkreslení vyšších hodnot než v případě zobrazení Křovákova. Vliv délkového zkreslení činil  |m - 1| Î (- 11,6; + 31,6 cm/km).

11.2.3. Cassini-Soldnerovo zobrazení

Jedná se o transverzální válcové zobrazení ekvidistantní v kartografických polednících.

Obr. 11.2 Cassini-Soldnerovo zobrazení

Zobrazení bylo použito pro katastrální mapy stabilního katastru bývalého Rakouska-Uherska v měřítku 1: 2880. Pro celé území bylo zvoleno celkem 11 souřadnicových soustav.  Pro České země byl počátek systému tzv. Gusterberského, v trigonometrickém bodě Gusterberg v Horních Rakousích (φ = 48°02´18,47“; λ = 31°48´15,05“), pro Moravu a Slezsko to byl tzv.  systém Vídeňský s počátkem v bodě věže kostela Sv. Štěpán ve Vídni (φ = 48°12´31,54“; λ = 34°02´27,32“).  Území Slovenska spadá do tzv. Budapešťského systému s počátkem v trigonometrickém bodě Gellérthegy v Budapešti. Zeměpisné délky λ jsou počítány k poledníku Ferro.

V systému Gusterberském došlo navíc k chybnému stočení kladné větve osy X od základního poledníku směrem na západ o 4´22,3

Zobrazovací rovnice:

Vztah pro výpočet délkového zkreslení v kartografické rovnoběžce a v libovolném azimutu:

Při výpočtu délkového zkreslení v azimutu do vzdáleností y £ 140 km můžeme třetí člen ve vztahu vynechat. Maximální hodnoty délkového zkreslení jsou ve směru základního poledníku (a = 0° nebo a = 180°) a bude platit:

Vliv délkového zkreslení činil na okrajích území Čech + 46,2 cm/km a Moravy + 40cm/km.

Zobrazení bylo také užíváno v 19. století v Anglii, Dánsku, Německu, Francii atd. pro mapy velkých a středních měřítek.

 

11.2.4. Gauss-Krügerovo zobrazení (Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech)

Toto zobrazení bylo užito na našem území pro vojenské topografické mapy od r. 1953. Referenčním elipsoidem byl zvolen elipsoid Krasovský, souřadnicovým systémem byl S-42, výškový systém baltský s nulovým vodočtem v Kronštadtu. Zobrazení je někdy nazýváno Gauss-Krügerovo.

Obr. 11.3 Gauss-Krügerovo zobrazení

Jedná se o konformní zobrazení elipsoidu přímo do roviny [j; l] ® [X; Y] s nezkresleným základním (středním) poledníkem, který byl volen za osu X (pro naše území se jedná o poledníky o zeměpisných délkách 15° a 21°). Jednotlivé  poledníkové pásy se zobrazují samostatně, mají tak vlastní souřadnicové soustavy a vzniká tak problém převodních vztahů mezi nimi.

Pro odvození zobrazovacích rovnici byly kladeny dva požadavky, a to podmínka nezkresleného základního poledníku a podmínka konformity.

Podmínky konformity lze psát ve tvaru:

Při odvození stačí uvažovat jednu z rovnic. Po jejím rozvoji v Tailorovu řadu dostáváme:

Zeměpisná délka l je redukované k zeměpisné délce středního poledníku. Nyní srovnáním levé a pravé strany (jejich reálných a imaginárních částí) bude

Připojením podmínky nezkresleného středního poledníku určíme funkci f(q) tak, že pro redukovaný střední poledník l = 0 musí být X = f(q) a Y = 0. Z této podmínky vidíme, že souřadnice X musí odpovídat délce poledníku.

Postupným výpočtem dalších derivací funkce f(q) dostáváme zobrazovací rovnice X, Y Gaussova zobrazení.

Délkové zkreslení

Vzhledem ke konformitě zobrazení platí mp = mr = m a můžeme psát:

Častěji používaným vztahem je

V našich zeměpisných šířkách dosahuje na okrajích pásů vliv délkového zkreslení +57 cm/km v případě šestistupňového pásu a +14 cm/km pro třístupňový pás.

Obr. 11.4 Průběh délkového zkreslení Gauss-Krügerova zobrazení

Meridiánová konvergence

Obr. 11.5 Meridiánová konvergence G.-K.  zobrazení

obr. 14.5 platí:

Meridiánovou konvergenci počítáme pro konstantní zeměpisnou šířku j, tudíž bude:

 

Dosazením příslušných derivací dostaneme

Použitím substituce z = tgg  můžeme pro výpočet zjednodušit předchozí vztah:

a pak bude úpravou a dosazením do původní rovnice výsledný vztah:

Tento vztah používáme při známých souřadnicích X, Y. Pokud nám ovšem pro výpočet meridiánové konvergence postačí výpočet s přesností 3“, pak pro naše zeměpisné šířky můžeme konvergenci vypočítat ze vztahu:

Pro zeměpisnou šířku j = 50° pak meridiánová konvergence na okrajích šestistupňového pásu (l = ± 3°) dosahuje hodnot g = ± 2°18´.

11.2.5. Křovákovo zobrazení

Křovákovo zobrazení je dvojité konformní kuželové zobrazení v obecné poloze. Je pojmenováno po svém autorovi Ing. Josefu Křovákovi, který jej odvodil pro potřeby vytvoření nové a přesnější trigonometrické sítě na území tehdejšího Československa. Navrhl jej r. 1922 jako prozatímní a od r.1933 je používáno jako definitivní zobrazení, které je základem pro soustavu rovinných souřadnic systému S-JTSK.

Původně Křovák navrhoval zobrazení v normální poloze, při té však byl pás území ČSR mnohem širší (viz obr. 14.6) než při použití obecné polohy. Pro normální polohu bylo navíc maximální délkové zkreslení na okrajích pásu +43 cm/km a pro obecnou polohu je poloviční, +21 cm/km.

Obr. 11.6 Křovákovo zobrazení

Optimální polohu kužele určil Křovák empiricky pomocí kružítka na globu.

Výchozí referenční plochou byl zvolen Besselův elipsoid, který byl zobrazen na kouli pomocí Gaussova konformního zobrazení (kap. 4). Získané souřadnice na kulové ploše dále z důvodu obecné polohy kužele transformoval na souřadnice kartografické. Kouli pak zobrazil do roviny konformním kuželový zobrazením a následnou transformací získaných polárních souřadnic dostáváme konečné vztahy pro rovinné souřadnice X, Y.

Přehled konstant používaných v Křovákově zobrazení

UQ = 59°42´42,69690"
VQ = 42°31´31,41725"
Š0 = 78°30´
φ0 = 49°30´
ρ0 = 1 298 039,004 615 180
a = 1,000 597 498 372
k = 0,996 659 248 690
n = 0,979 924 704 620 830
R = 6 380 703,610 500 m

Postup převodu souřadnic z Besselova elipsoidu do roviny XY:

I. Konformní zobrazení Besselova elipsoidu na kouli = Gaussovo zobrazení

Vyvození zobrazovacích rovnic bylo podrobně popsáno v kap. 4. Příslušné zobrazovací rovnice tudíž jsou:

Pro dourčení konstant a, k, R Gauss volil požadavek, aby se základní rovnoběžka j0 (resp. U0) nezkreslovala a aby bylo délkové zkreslení co nejmenší (volil nulovou první a druhou derivaci). Vztahy pro výpočet konstant tak budou:

Zeměpisnou šířku U můžeme také určit pomocí řady:

Inverzní řada je:

kde Dj jj0, DU = U – U0 a jsou ve stupních.

Další možnost určení U je z Křovákových zobrazovacích tabulek I.díl, kde jsou hodnoty U uvedeny pro jÎá47°30´; 51°30´ñ v kroku 10”.

II.Transformace souřadnic

Vzhledem k tomu, že je kuželové zobrazení použito v obecné poloze, musíme transformovat zeměpisné souřadnice na kulové ploše [U; V] na souřadnice kartografické [Š; D]:

kde DV=VQ – V

Zpětný převod:

III.Konformní kuželové zobrazení

Princip odvození zobrazovacích rovnic byl uveden v kap. 5, kde bylo:

Volba konstant r0, n vycházela z požadavku jedné nezkreslené rovnoběžky Š0:

Polární souřadnici r můžeme opět získat i z Křovákových zobrazovacích tabulek II.díl pro Š v kroku 10”.

Z výše uvedených rovnice je zřejmé, že se jedná o kužel v tečné poloze s jednou nezkreslenou rovnoběžkou a všude mimo tuto rovnoběžku bude platit m > 1. Na okrajích pásu bylo zkreslení až m = 1,0002 a proto bylo redukováno zavedením multiplikační konstanty k = 0,9999, kterou byl přenásoben poloměr základní rovnoběžky r0:

Délkové zkreslení v základní rovnoběžce tak bude:

Na okrajích pásů tak dojde ke snížení zkreslení na polovinu, tj. m = 1,0001 a jde o obdobný postup, jako bychom pro dané území volili kužel sečný. Dostáváme totiž dvě nezkreslené rovnoběžky Š1 a Š2 (obr. 14.7).

Délkové zkreslení můžeme vypočítat ze vzorce společného pro všechna kuželová zobrazení, do jmenovatele výrazu však dosazujeme původní (nezmenšený) poloměr Země:

Můžeme jej také vyčíslit lineární interpolací z Křovákových zobrazovacích tabulek II.díl, kde však tabelovaná hodnota m značí šestinu reciproké hodnoty zkreslení, tedy:

Poslední možností určení délkového zkreslení je pomocí řady:

kde Dr= r- r0 a dosazuje se ve stovkách km.

Obr. 11.7 Průběh délkového zkreslení Křovákova zobrazení

IV.Transformace polárních souřadnic na rovinné

Zpětný převod:

Pro celé území ČSR a nyní i ČR platí Y < X.

 

Meridiánová konvergence (obr. 14.8)

e... polární souřadnice bodu

x ... úhel, který svírá zeměpisný poledník s kartografickým

 

Obr.  11.8 Meridiánová konvergence Křovákova zobrazení

Úhel x = 0 na ose X a roste směrem na západ. V západním cípu republiky dosahuje až 10°.

Pro výpočet s přesností ± 1´ postačí použít řadu:

kde X, Y dosazujeme v km a dostaneme C ve stupních.

 

11.3. Návrhy zobrazení pro ČSR

Po roce 1918, rok vzniku Československa, dochází k potřebě budování nové a přesnější trigonometrické sítě. S tím souvisí i volba kartografického zobrazení, nejvhodnějšího pro zobrazení nově vzniklého území. Návrhy na toto zobrazení byly následující:

1. Ing. Josef Křovák: Kuželové zobrazení dvou rovnoběžkových pásů, tečné v normální poloze

2. Prof. František Fiala: Dvojité válcové zobrazení v obecné poloze

3. Dr. L.Beneš: Kuželové zobrazení jednoho rovnoběžkového pásu, sečné v normální poloze

4. Prof. A. Semerád: Stereografická projekce v obecné poloze ve 3 soustavách

5. Prof. A. Tichý: Válcové zobrazení v obecné poloze ve dvou pásech

6. Ing. Josef Křovák: Dvojité konformní kuželové zobrazení v obecné tečné poloze

Ještě stojí za zmínku také pokus prof. Böhma, který navrhl konformní eliptické zobrazení (nepravé válcové) s minimálním délkovým zkreslením.