6.3. Válcová zobrazení jednoduchá
Jedná se opět o limitní případ kuželových zobrazení, kdy se vrchol kužele vzdálí do nekonečna (do nevlastního bodu). Při pohledu na obraz geografické sítě si můžeme představit, že se jedná o rozvinutou rotační válcovou plochu, jejíž osa je totožná se zemskou (v případě normální polohy). Poledníky se v tomto zobrazení jeví jako přímky jedné osnovy, rovnoběžky jako přímky druhé osnovy a jsou na sebe navzájem kolmé. Obrazy poledníků jsou ve stejných odlehlostech.
Zobrazení jsou vhodná při příčné poloze pro zobrazení poledníkových pásů nebo při poloze normální pro pás kolem rovníku. Nejmenších zkreslení dosahují právě kolem dotykové kružnice. Ekvideformáty jsou opět rovnoběžky, zkreslení je symetrický rozloženo kolem rovníku. Zcela nevhodné jsou naopak pro zobrazení polárních oblastí.
Zobrazovací rovnice
Vzorce pro výpočet zkreslení
Funkce f(U) nám udává vlastnosti daného zobrazení: konformní, ekvivalentní, ekvidistantní, atd. U válcových zobrazení však nelze odvodit zobrazení ekvidistantní v rovnoběžkách (nikdy nelze dosáhnout mr = 1 pro všechny rovnoběžky, pouze pro speciální).
Jak je vidět z rovnice pro výpočet délkového zkreslení v rovnoběžce, s narůstající zeměpisnou šířkou hodnota zkreslení rychle stoupá (pro U = 90° je mr = ¥).Z tohoto důvodu volíme pro území se středními zeměpisnými šířkami většinou sečný válec.
Volba konstanty k
Tu volíme podle požadavku na polohu válce, nejčastěji se jedná o válec v normální poloze, buď tečný nebo sečný.
a) normální tečná poloha
6.3.2.1. Ekvivalentní zobrazení
Obr. 7.1 Válcová zobrazení ekvivalentní
Pro odvození rovnic můžeme opět použít elementárního způsobu (obr.7.1), zůstaneme však u odvození klasickým způsobem, kdy použijeme podmínku ekvivalence:
Při odvození budeme uvažovat:
a) tečnou polohu (k = R) a pro integrační konstantu v řešení budeme uvažovat podmínku, aby se rovník zobrazil do osy y (X = 0) – tzv. izocylindrické Lambertovo zobrazení.
b) sečnou polohu (k = R×cos U0) a pro integrační konstantu totéž jako v předešlém případě – tzv. Behrmannovo zobrazení
6.3.2.1.1. Lambertovo izocylindrické zobrazení (r. 1772)
Princip tohoto zobrazení byl znám již Archimédovi, propracoval jej však až J.H. Lambert v 16.3. století.
Vlastnosti: směrem od rovníku se zhušťují intervaly rovnoběžek, zobrazení je ekvivalentní s nezkresleným rovníkem a jak bude dále dokázáno (viz odst. 1.2.4.4), zobrazení můžeme odvodit i geometricky a proto jej nazýváme projekcí a to takovou, kde bod Q (bod, ze kterého zobrazujeme) je v rovině rovníku a ve vzdálenosti od středu Země c ® ¥.
Zobrazovací rovnice:
Vzorce pro zkreslení:
6.3.2.1.2. Behrmannovo zobrazení (r. 1910)
Vlastnosti: zobrazení je ekvivalentní se sečnou polohou válce v ± U0.
Zobrazovací rovnice:
6.3.2.2. Zobrazení ekvidistantní v polednících
Při odvození požadujeme, aby byla splněna podmínka ekvidistance v polednících, takže řešíme diferenciální rovnici:
Separací proměnných a následnou integrací získáme rovnice tzv. Marinova zobrazení:
6.3.2.2.1. Marinovo zobrazení (r. 100 n.l.)
Autorem zobrazení je Marinus z Tyru a vzhledem k obrazu geografické sítě je také často označováno jako čtvercová mapa. V transverzální poloze bylo užito kartografy J.F. Cassinim a J.G. Soldnerem (viz odst. 6.3.2.2.2).
Vlastnosti: obrazem poledníků a rovnoběžek jsou dvě osnovy rovnoběžných přímek, které jsou ve stejných odlehlostech a tvoří čtvercovou síť. Při modifikaci (změně polohy z tečné na sečnou) dostaneme tzv. obdélníkovou mapu.
Použití: zobrazení je vhodné pro mapy území kolem rovníku, v atlasech je často užíváno pro mapy pásmových časů.
Zobrazovací rovnice:
6.3.2.2.2. Cassini-Soldnerovo zobrazení
Jedná se o Marinovo zobrazení v transverzální poloze, které použil J.F. Cassini pro mapu Francie a J.G. Soldner pro Bavorsko. Toto zobrazení je podrobně popsáno v kapitole 16.
6.3.2.3. Konformní zobrazení
Žádné konformní zobrazení elementární cestou odvodit nelze, omezíme se proto pouze na odvození klasické, a to za předpokladu konformity:
Opět volíme tečnou polohu válce a zobrazení rovníku do osy y. Dostáváme tak zobrazení Mercatorovo:
6.3.2.3.1. Mercatorovo zobrazení (r. 1569)
Roku 1569 bylo toto zobrazení uveřejněno G. Mercatorem bez udání, jak získal vzdálenosti rovnoběžek. Teprve r. 1594 toto vysvětlil Edward Wright a r. 1645 nalezl analytický vztah H. Bond. Zobrazení vzniklo z potřeb konstrukce námořních map pro plavby podle loxodrom. Dlouho bylo používáno pro přehledné geografické mapy světa.
Vlastnosti: velkou výhodou tohoto zobrazení je to, že se loxodromy zobrazí jako přímky, čehož se často využívá k zákresu loxodrom do jiných zobrazení.
Použití: námořní, navigační a letecké mapy
Zobrazovací rovnice:
6.3.2.3.2. Gaussovo zobrazení (= transverzální Mercatorovo)
Jedná se o Mercatorovo zobrazení v příčné poloze, kdy se válec dotýká referenční koule podél zvoleného poledníku. Zobrazení podrobně propracoval a prvně použil Gauss. Ve zobrazovacích rovnicích použil pravoúhlé Soldnerovy souřadnice [x, y]. Obraz kartografických poledníků a rovnoběžek je stejný jako obraz zeměpisné sítě pro normální polohu. Při nahrazení [U; V] ® [Š; D] můžeme pro výpočet použít vzorců vyvozených pro normální polohu.
Vlastnosti: velice přesných výsledků lze dosáhnout do vzdálenosti 110 km od základního poledníku.
Použití: pro pásy široké do 90 km. Toto zobrazení je velice důležité pro geodetické účely kvůli své konformitě.
Zobrazovací rovnice:
se zpětným převodem:
Vzorce pro zkreslení:
Při užití členu druhého řádu dosahujeme přesnosti při Y < 168 km pro stranu 50 km dlouhou chybu 1 mm.
6.3.2.3.3. Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech (Gauss-Krügerovo zobrazení)
O tomto zobrazení opět více v kapitole 11.
6.3.2.3.4. Zobrazení UTM (= Univerzal Transverse Mercator Projection)
Toto zobrazení bylo zavedeno pro tvorbu vojenských map členských států NATO. Je velmi podobné předchozímu Gaussovu zobrazení. Odlišnosti zobrazení UTM od Gaussova, resp. odlišnosti obou systémů, jsou následující:
6.3.2.4. Válcové projekce
Tvar funkce f(U) můžeme hledat i geometrickou cestou a to promítáním referenční koule na válcovou plochu. Promítáme z bodu Qc, a to buď pevného (bod je na zemské ose) nebo pohyblivého (bod je v rovině rovníku).
a) pevný bod Qc – na zemské ose
|
Obr. 7.2 Válcové projekce s bodem Qc na zemské ose |
Odvození je založeno na podobnosti trojúhelníků (obr. 7.2):
Obecné pravoúhlé zobrazovací rovnice pak jsou:
|
6.3.2.4.1. Centrální válcová projekce v normální poloze
Vlastnosti: bod Qc leží ve středu Země (Qc = Q, c = 0) a volíme tečnou polohu válce (U0 = 0). Zobrazení s příčnou polohou válce je tzv. Wetchova mapa.
Zobrazovací rovnice:
b) pohyblivý bod Qc – v rovině rovníku
|
Obr. 7.3 Válcové projekce s bodem Qc v rovině rovníku |
Odvození opět na základě podobnosti trojúhelníků (obr.7.3):
Obecné pravoúhlé souřadnice pak jsou:
|
6.3.2.4.2. Braunova stereografická projekce
Vlastnosti: bod Qc je umístěn na povrchu referenční plochy (c = R) a uvažujeme tečnou polohu válce (U0 = 0).
Zobrazovací rovnice:
6.3.2.4.3. Gallova stereografická projekce
Vlastnosti: bod Qc je opět na povrchu referenční plochy (c = R), válec však uvažujeme v sečné poloze (U0 ¹ 0).
Použití: pro přehledné mapy
Zobrazovací rovnice:
6.3.2.4.4. Ekvivalentní válcové zobrazení
Vlastnosti: při bodu Qc v nekonečnu – v nevlastním bodu (c ® ¥) a tečné poloze válce získáme zobrazovací rovnice ekvivalentního válcového zobrazení – Lambertova (viz odst.6.3.2.1.1)
Zobrazovací rovnice:
