7.3. Válcová zobrazení nepravá

7.3.1. Společné vlastnosti

7.3.2. Jednotlivá zobrazení
  7.3.2.1. Sinusoidální zobrazení
    7.3.2.1.1. Mercator-Sansonovo zobrazení
    7.3.2.1.2. Eckertova sinusoidální zobrazení (r. 1906)
    7.3.2.1.3. McBryde-Thomasovo zobrazení (r. 1949)
  7.3.2.2. Eliptická zobrazení
    7.3.2.2.1. Mollweidovo zobrazení (r. 1805)
    7.3.2.2.2. Eckertovo eliptické zobrazení
    7.3.2.2.3. Robinsonovo vyrovnávací zobrazení
  7.3.2.3. Přímková zobrazení
    7.3.2.3.1. Collignonovo zobrazení
    7.3.2.3.2. Eckertova přímková zobrazení
    7.3.2.3.3. Ekvidistantní přímková zobrazení
  7.3.2.4. Kružnicová zobrazení
    7.3.2.4.1. Zobrazení Apianovo
    7.3.2.4.2. Zobrazení Loritzovo
  7.3.2.5. Ostatní zobrazení
    7.3.2.5.1. Zobrazení Boggsovo (r. 1929)
    7.3.2.5.2. Goodovo zobrazení (r. 1923)
    7.3.2.5.3. Zobrazení Érdi-Krauszovo (r. 1968)
    7.3.2.5.4. Loximutální (= Siemonovo) zobrazení (r. 1935)
    7.3.2.5.5. Oválné (Orteliovo) zobrazení (r. 1570)

7.3.1. Společné vlastnosti

Tzv. pseudocylindrická zobrazení. Dobře použitelná pro zobrazení planisfér. Rovnoběžky se zobrazují jako přímky rovnoběžné s rovníkem, symetrické vzhledem k rovníku a základnímu poledníku.

Typy zobrazení:

Zobrazovací rovnice

Vzorce pro výpočet zkreslení

Obr. 7.4 Válcová zobrazení nepravá

                         

Pro případ ekvivalentních zobrazení (P = 1) platí:

 

7.3.2. Jednotlivá zobrazení

7.3.2.1. Sinusoidální zobrazení

7.3.2.1.1. Mercator-Sansonovo zobrazení (16. stoletní)   

 Toto zobrazení bylo v 16. století užito Mercatorem, později Sansonem. Začátekem 18. století jej použil Flamsteed pro svou hvězdnou mapu. Proto je zobrazení někdy nazýváno Flamsteedovo. Zobrazení je mezním případem zobr. Bonneova pro U0 = 0°.

Vlastnosti: V tomto zobrazení je obraz pólu bodem, základní poledník je přímkový a je nezkreslen a obrazem ostatních poledníků jsou poloviny sinusoid (odtud zobrazení sinusoidální). V okrajových částech sítě ve větších zeměpisných šířkách dochází k velkým zkreslením. Zobrazení je konstrukčně jednoduché, ekvivalentní a ekvidistantní v rovnoběžkách.

Použití: v minulosti často užíváno pro konstrukci map Afriky. Výhodné pro zobrazení polárních oblastí.

Zobrazovací rovnice:

Zobrazovací rovnice pro Y plyne z požadavku na ekvidistanci v rovnoběžkách, pro X z požadavku na ekvidistanci středního (základního) poledníku.

Vzorce pro zkreslení:

 

7.3.2.1.2. Eckertova zobrazení (r. 1906)       

Eckert odvodil tato zobrazení z důvodů zmenšení velkých zkreslení v oblasti pólů. Navrhl zobrazení ekvivalentní a vyrovnávací.

Vlastnosti: zobrazení je ekvivalentní, pól se zobrazí jako úsečka právě pro zmenšení zkreslení v okolí pólů. Obrazy pólu a základního poledníku jsou stejné délky a jsou rovny polovině délky obrazu rovníku. Obrazy ostatních poledníků jsou části elips.Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se pro ekvivalentní  zobrazení zmenšují od rovníku k pólům.

Použití: v minulosti často používány pro konstrukce map světa na jednom listě.

Zobrazovací rovnice:

Hodnotu U´opět dostaneme postupnou aproximací. Uvedené rovnice platí pro ekvivalentní zobrazení. Pro získání druhé varianty, tedy zobrazení vyrovnávacího, nahradíme U´= U. Odvození zobrazovacích rovnic je složité. 

7.3.2.1.3. McBryde-Thomasovo zobrazení (r. 1949)   

Vlastnosti: Obdobná varianta jako Eckertovo zobrazení, je ekvivalentní, obrazem pólu je úsečka délky třetiny obrazu rovníku.

 

7.3.2.2. Eliptická zobrazení

7.3.2.2.1. Mollweidovo zobrazení (r. 1805)   

Zobrazení někdy nazýváno homalografické. Americký kartograf J.P. Good tohoto zobrazení použil pro mapy celé Země s jistými úpravami – tzv. Goodovy úpravy. Ty spočívaly v tom, že k vykreslenému rovníku přiřadil několikrát střední část sítě tak, aby zahrnula ucelenou část zemského kontinentu. Nezískal však ucelený obraz Země, vyloučil však části sítě s velkými zkresleními. Goodovy úpravy jsou možné i u dalších zobrazení.

Vlastnosti: celá Země se zobrazí do elipsy a:b = 2:1. Základní poledník je v tomto případě zkreslen, obrazem poledníků V = ± 90° jsou kružnice o poloměru:

Obrazem ostatních poledníků jsou části elips (zobr. eliptické). Podél obrysové elipsy a ve větších zeměpisných šířkách dochází k velkým zkreslením.
Zobrazení je ekvivalentní.

Použití: zobrazení celé Země. Nejčastěji pro reklamní a firemní účely v dále v televizním vysílání.

Zobrazovací rovnice:

Hodnoty U´dostaneme buď výpočtem pomocí postupné aproximace nebo z kartografických tabulek.

Vzorce pro zkreslení:

7.3.2.2.2. Eckertovo eliptické zobrazení       

Eckert navrh 2 varianty tohoto zobrazení, a to ekvivalentní a vyrovnávací.

Vlastnosti: obrazem poledníků jsou elipsy, pro poledník V = ± 180° jsou to kružnice.

Zobrazovací rovnice:

 

pro zobrazení ekvivalentní U´postupnou aproximací:

pro zobrazení vyrovnávací:

7.3.2.3. Přímková zobrazení

obrazy poledníků jsou přímky, někdy i lomené v rovníku, jsou však málo použitelné

7.3.2.3.1. Collignonovo zobrazení (r. 1865)   

Vlastnosti: polokoule je zobrazena ve čtverci ohraničeném poledníky V = ± 90°. Úhlopříčkami je zde rovník (o poloviční délce) a základní poledník. Zobrazení je ekvivalentní.

Zobrazovací rovnice:

7.3.2.3.2. Eckertova přímková zobrazení       

Opět dvě varianty zobrazení, a to ekvivalentní a vyrovnávací.

Vlastnosti: pro ekvivalentní platí, že plocha šestiúhelníka se rovná ploše Země, poledníky jsou lomené na rovníku a póly se zobrazují jako úsečky.

Zobrazovací rovnice:

Ekvivalentní zobrazení odvodíme z následujících rovnic vyřešením kvadratické rovnice:

Vyrovnávací zobrazení:

7.3.2.3.3. Ekvidistantní přímková zobrazení

Vlastnosti: zobrazení je ekvivalentní s nezkresleným základním poledníkem a rovníkem. Pól se zobrazí jako bod.

Další variantou zobrazení je např. zobrazení s lomenými poledníky, kde je opět nezkreslen rovník, základní poledník a např. rovnoběžka U = ± 60°, na které se pak obraz ostatních poledníků lomí.

7.3.2.5. Kružnicová zobrazení

7.3.2.5.1. Apianovo zobrazení (r. 1524)   

Podle [1] jsou zařazeny do nepravých zobrazení azimutálních globulárních, podle [3] do zobrazení nepravých válcových kružnicových. Vzhledem k dále popsaným vlastnostem však toto zobrazení patří právě do nepravých válcových zobrazení kružnicových.

Vlastnosti: Rovník a základní poledník zůstávají nezkresleny, obrazy rovnoběžek jsou od sebe stejně vzdáleny. Obrazy poledníků jsou části kružnic o poloměru r a jejich společné tečny tvoří obrazy pólů. 

Zobrazovací rovnice:

7.3.2.5.2. Loritzovo zobrazení (r. 1527)

Podle [1] jsou zařazeny do nepravých zobrazení azimutálních globulárních, podle [3] do zobrazení nepravých válcových kružnicových. Vzhledem k dále popsaným vlastnostem však toto zobrazení patří právě do nepravých válcových zobrazení kružnicových.

 Vlastnosti: zobrazení má podobné charakteristiky jako zobrazení Apianovo, ale mezi obrazy rovnoběžek již nejsou stejné rozestupy (obrysová kružnice pro poledník V = ± 90° je rozdělena na stejně velké oblouky).

Zobrazovací rovnice:

 

7.3.2.5. Ostatní zobrazení

7.3.2.5.1. Boggsovo zobrazení (r. 1929)   

Autorem zobrazení je Američan Whitemore Boggs, který určil druhou zobrazovací rovnici pro souřadnici Y aritmetickým průměrem  zobrazení sinusoidálního (Mercator-Sansonova) a eliptického (Mollweidova).

Vlastnosti: zobrazení je ekvivalentní, póly se zobrazí jako body, obrazem poledníků jsou komplexní křivky.

 

7.3.2.5.2. Goodovo zobrazení (r. 1923)   

Kromě kompozitních úprav nepravých zobrazení navrhl J.Paul Goode toto zobrazení, nazývané „Good homolosine projection“, kterého se pro zobrazení kontinentů užívá opět v kompozitní formě, kdy je určeno 6 centrálních poledníků definovaných odděleně pro severní a jižní polokouli (neprotínají rovník). Získáme tak opět nesouvislý obraz.

Vlastnosti: zobrazení je ekvivalentní, pro odlehlosti obrazů rovnoběžek platí, že až do rovnoběžky U = 40°44´ jsou konstantní, ve vyšších zeměpisných šířkách se pak směrem k pólům zmenšují.

Zobrazovací rovnice:

Pro U < 40°44´ je použito zobrazení sinusoidální, pro U >40°44´ pak zobrazení eliptické s upravenou zobrazovací rovnicí pro souřadnici X:

7.3.2.5.3. Érdi-Krauszovo zobrazení (r. 1968)

Zobrazení pochází z Maďarska, kde jeho autor Györgi Érdi Krausz použil kombinaci dvou zobrazení. Pro zeměpisné šířky U < 60° užil speciální ekvivalentní sinusoidální zobrazení, pro větší šířky pak zobrazení Mollweidovo.

Vlastnosti: ekvivalentní, avšak pro různá zobrazení má i různou konstantní hodnotu.

Použití: užito ve Velkém atlasu světa (Praha 1988) pro fyzickou a politickou mapu světa

 

7.3.2.5.4. Siemonovo (loximutální) zobrazení   

Toto zobrazení odvodil německý kartograf Karl Siemon.

Vlastnosti: obrazem loxodrom vycházející z předem určeného centra jsou přímky délkově nezkreslené a s nezkresleným azimutem v centrálním bodě.

Zobrazovací rovnice:

7.3.2.5.5. Oválné zobrazení   

Toto zobrazení, odvozené Abrahamem Orteliem, je zajímavé zejména z historického hlediska.

Vlastnosti: Základní poledník a rovník jsou nezkreslené, obrazem rovnoběžek jsou kruhové oblouky s konstantními odlehlostmi na rovníku. Póly se zobrazí jako úsečky poloviční délky rovníku.

Použití: v 16. století pro mapy světa