2. Základní pojmy

2.1. Referenční plochy

2.1.1. Rovina

Zemský povrch můžeme považovat za rovinu pro velmi malá území okrouhlého tvaru o ploše asi 200 km² (kruh o poloměru r = 8 km). Pro méně přesné výpočty s plochou asi 700 km² a poloměrem 15 km.

2.1.2. Koule

kde R je poloměr referenční koule.
Užití: pro geodetické a kartografické účely, nejdříve zobrazíme elipsoid vhodným způsobem na kouli a potom geometrickými prvky do roviny ® tzv. dvojitá zobrazení. Nebo koulí o poloměru R určitých vlastností nahradíme elipsoid. Zeměpisné souřadnice platné pro elipsoid se beze změny užijí také na kouli, ale dochází k velkým deformacím délek (toto zkreslení zaniká až při použití velmi malých měřítek od 1: 10⁷).

Nejčastěji volíme poloměr koule jako tzv. střední poloměr křivosti:

Pro ČR se střední geodetickou šířkou φ = 49°30´ a použití Besselova elipsoidu je R_m = 6 380 703,6105 m.
Při stejném objemu elipsoidu a koule je R = 6 370,3 km.

2.1.3. Elipsoid

numerická výstřednost (excentricita) a zploštění

druhá excentricita

Vzájemné vztahy mezi těmito veličinami jsou

1. Trojosý elipsoid (ten se však vzhledem ke složitější geometrii nepoužívá)

2. Rotační elipsoid

2.1.3.1. Přehled známých elipsoidů:

Pro katastrální mapy Stabilního katastru byl použit elipsoid Zachův. Od roku 1841 se v našich zemích užívá Besselův elipsoid (dodnes představuje základní referenční elipsoid pro systém S-JTSK). Ten však vyhovuje pouze pro území s menší rozlohou a proto byl r. 1924 doporučen elipsoid Hayfordův. Jeho parametry byly vypočteny na základě rozsáhlých měření r. 1909 v USA. Tento elipsoid však u nás nakonec zaveden nebyl. Roku 1944 byly výsledky měření v USA doplněny i o měření v Evropě a SSSR a byl navržen nový elipsoid F.N.Krasovským. Tento elipsoid byl svými parametry nejlépe vyhovujícím elipsoidem pro zobrazení celé Země. Roku 1953 byl zaveden i v ČSSR. Na XV. Generálním shromáždění Geodetické a geofyzikální unie (IUGG) roku 1971 v Moskvě byl pro vědecké práce mezinárodního významu zaveden elipsoid IAG 1967.

Tabulka základních parametrů známých referenčních elipsoidů:

2.2. Souřadnicové systémy na referenčních plochách

2.2.1. Geodetická zeměpisná šířka j a zeměpisná délka l

Bod P je bod na povrchu elipsoidu. j - úhel, který svírá normála elipsoidu s rovinou rovníku: |j| £ 90°  l - úhel, který svírá rovina poledníku s rovinou nultého poledníku: |l| £ 180° Někdy je také pro geodetické zeměpisné souřadnice používáno označení [B; L]

Obr. 2.1 Geodetické souřadnice

Zeměpisná rovnoběžka - průsečnice roviny, kolmé na osu rotace a rovnoběžné s rovinou rovníku referenční plochy s touto plochou (tzn. body o stejné zeměpisné šířce j).

Zeměpisný poledník - průsečnice roviny, procházející osou rotace referenční plochy s touto plochou (tzn. body o stejné zeměpisné délce l).

Rovnoběžky a poledníky tvoří tzv. geografickou síť. Základním poledníkem je tzv. greenwichský poledník, procházející hvězdárnou Greenwich ve Velké Británii.

Zemské póly jsou singulární body a v různých kartografických zobrazeních se zobrazují jinak než ostatní body.

Pro kulovou plochu je zavedeno označení zeměpisná šířka U (j = U) a zeměpisná délka V (l = V).

2.2.2. Geocentrická zeměpisná šířka b a zeměpisná délka l

b - úhel, který svírá spojnice SP s rovinou rovníku: |b| £ 90° l - úhel, který svírá rovina poledníku s rovinou nultého poledníku: |l|  £ 180° A platí:

Obr. 2.2 Geocentrické souřadnice

Těchto souřadnic se užívá především v astronomii a navigaci. Pro kulovou referenční plochu platí U = b = j.

2.2.3. Redukovaná zeměpisná šířka y a zeměpisná délka l

Bod P* je afinní bod k bodu P a leží na kouli. y - úhel, který svírá spojnice SP* s rovinou rovníku: |y| £ 90°  l - úhel, který svírá rovina poledníku s rovinou nultého poledníku:  |l| £ 180° A platí:

Obr. 2.3 Redukované souřadnice

Těchto souřadnic používáme pro řešení některých teoretických úloh na ploše referenčního elipsoidu. Pro kulovou referenční plochu platí U = j = y = b.

2.2.4. Ortogonální, Soldnerovy souřadnice

Zvolíme si bod Q [UQ; VQ]. Severní větev poledníku procházející tímto bodem volíme jako kladnou větev osy x, hlavní kružnice kolmá na poledník procházející bodem P tvoří osu y (kladná na východ).

Obr. 2.4 Soldnerovy souřadnice

2.2.5. Polární sférické souřadnice

Polohu dvou bodů na referenční ploše můžeme určit pomocí azimutu A a úhlovou velikostí jejich spojnice s01.

Obr. 2.5 Polární souřadnice

Obr. 2.6 Polární souřadnice

a10 – sférický směrník g – meridiánová konvergence (sbíhavost poledníků) ... je úhel, který svírá v daném bodě P místní poledník s rovnoběžkou se základním poledníkem. Pro ČR dosahuje meridiánová konvergence na západní hranici až 10°. g = A10 – a10

2.2.6. Souřadnicové soustavy v rovině

        - polární [r;e]

        - ortogonální [x; y]

[r; e] → [x; y]           [x; y] →[r; e]

Obr. 2.7 Rovinné souřadnice

2.2.7. Pravoúhlé prostorové souřadnice X; Y; Z

Osa X – průsečnice roviny rovníku s rovinu nultého poledníku Osa Z – v ose rotace Osa Y – v rovině rovníku, kolmá na osu X, doplněním do pravotočivého systému.

Obr. 2.8 Prostorové souřadnice

Význam užití velmi vzrostl v souvislosti s GPS pro řešení geodetických úloh použitím těchto souřadnic ve 3D (trojrozměrné, družicové) geodézii pro určování polohy bodů na elipsoidu, na fyzickém zemském povrchu a v blízkém kosmickém prostoru.

2.2.8. Kartografické souřadnice

Pro optimální volbu zobrazení a s tím související polohou zobrazovací plochy je vhodné určovat polohu bodů pomocí tzv. kartografických souřadnic. Ve vyšší geodézii se tyto souřadnice uplnatňují např. při transformaci systému S-JTSK a WGS-84. Osa zobrazovací plochy již nebude totožná s osou zemskou a definujeme nový kartografický systém souřadnic. Průsečík osy plochy s referenční plochou je kartografickým pólem Q. Definice kartografických souřadnic Š (kartografická šířka) a D (kartografická délka) je pak analogická k souřadnicím zeměpisným U, V.

Obr. 2.9 Kartografické souřadnice

Vzájemné transformační vztahy mezi zeměpisnými souřadnicemi U, V a kartografickými souřadnicemi Š, D odvodíme jednoduchými vztahy ze sférické trigonometrie.

Obr. 2.10 Kartografické souřadnice

[U; V] → [Š; D] [U; V] → [Š; D]

2.2.9. Izometrické (symetrické) souřadnice

Těchto souřadnic se s výhodou užívá při odvozovaní např. vztahů pro zkreslení. Označíme-li si je např. x, h, pak pro délkový element musí platit vztah:

Pro rovinné souřadnice X, Y bude tento vztah ds² = X² + Y² a vidíme, že souřadnice X, Y v rovině jsou izometrické.

Nyní si analogicky odvodíme vztah pro délkový element na elipsoidu i na kouli:

Délkový element na elipsoidu: Kde N, M jsou poloměry křivosti blíže vysvětlené v kap. 2.3.

Vztah však nevyhovuje výše uvedené formulaci symetrických souřadnic. Označíme-li

pak bude

a souřadnice q, l již formulaci vyhovují, jsou tudíž symetrické.

Nyní odvodíme vztah pro izometrickou šířku q:

Dosazením za M a N a řešením integrálu pomocí substituce dostaneme výsledný vztah, který je:

Obdobně odvodíme izometrické souřadnice na kouli, kde izometrickou šířku označujeme Q a vztahy se díky M = N = R zjednoduší na:

2.3. Poloměry křivosti v libovolném bodě na elipsoidu

V bodě P existují dva extrémní normálové řezy (řez rovinou procházející normálou v bodě a kolmou na povrch elipsoidu). Křivost těchto řezů je zde minimální a maximální, jsou to tzv. hlavní křivosti.

Tyto elementy - příčný poloměr křivosti N (poloměr křivosti v rovině kolmé na poledník) a meridiánový poloměr křivosti M (poloměr křivosti v poledníku) - používáme při výpočtech na referenčním elipsoidu. Pro referenční kouli platí N = M = R.

Obr. 2.11 Poloměry křivosti

Obr. 2.12 Poloměry křivosti

2.3.1. Příčný poloměr křivosti N:

Všechny normály jedné rovnoběžky se protínají v bodě V (ležícím na ose rotace), vzdálenost VP je příčný poloměr křivosti N. Někdy se pro něj také užívá označení poloměr křivosti v prvním vertikálu.

Obr. 2.13 Příčný poloměr křivosti N

Souřadnice x,y jsou souřadnice bodu P v rovině poledníkové elipsy. Směrnice tečny v bodě P je Diferencováním rovnice elipsy dostaneme

Porovnáním těchto dvou rovnice dostáváme

Tuto rovnici umocníme na druhou a z rovnice elipsy vyjádříme , dosadíme a dostaneme

Nyní vyjádříme x², ze vztahu vyjádříme poměr a dostaneme

V těchto parametrických rovnicích se také často používá pomocné veličiny, tzv. první základní geodetické funkce W, pro kterou platí:

Pro příčný poloměr N pak podle obr. 2.13 platí:

Pro rovník (j = 0°):
Pro póly (j = 90°):

2.3.2. Meridiánový poloměr křivosti M:

Obr. 2.14 Meridiánový poloměr křivosti M

Pro rovník (j = 0°):
Pro póly (j = 90°):

Pro libovolný bod na elipsoidu platí N > M s výjimkou pólů, kde N = M.

2.3.2.1. Délkové elementy na poledníku a rovnoběžce

Obr. 2.15 Délkový element v rovnoběžce	Obr. 2.16 Délkový element v poledníku

2.3.3. Střední poloměr křivosti R_m

Pro tehdejší ČSSR byly vypočteny tyto poloměry křivosti pro j = 49°30´:

2.3.4. Poloměr křivosti v libovolném azimutu R_a

Poloměr normálového řezu o libovolném azimutu a je

2.3.5. Poloměr náhradní koule

Při výpočtech, kdy nahrazujeme elipsoid koulí, volíme nejčastěji její poloměr následujícími třemi způsoby:

•  Koule má stejný objem jako elipsoid:

•  Koule má stejný povrch jako elipsoid:

  

•  Koule má poloměr roven aritmetickém průměru velikostí poloos elipsoidu:

  

Hodnoty všech tří poloměrů jsou po zaokrouhlení na 0,1 km stejné a jsou pro jednotlivé elipsoidy následující:

2.4. Důležité křivky na referenčních plochách

2.4.1. Geodetická křivka

Pro geodetickou křivku platí, že její hlavní normála je v každém bodě totožná s normálou referenční plochy. Nutnou a postačující podmínkou, aby byla křivka na ploše křivkou geodetickou, je nulová geodetická křivost v každém jejím bodě. Každá nejkratší spojnice dvou bodů na ploše je křivkou geodetickou, neplatí to ovšem opačně (např. šroubovice je geodetickou křivkou, není to ovšem nejkratší spojnice!). 

2.4.2. Ortodroma

Jedná se o geodetickou křivku na kulové ploše, která vyjadřuje tzv. ortodromickou vzdálenost (nejkratší vzdálenost dvou bodů na ploše). V regulárním bodě i v bodech singulárních (póly - poledníky) je ortodrom nekonečně.

Průběh ortodromy:

Obr. 2.17 Průběh ortodromy

Azimut ortodromy A12: Délka ortodromy s12:

Obr. 2.18 Ortodroma

2.4.3. Loxodroma

Je speciální křivkou na referenční ploše, která protíná všechny poledníky pod stále stejným úhlem - azimutem

Diferenciální rovnice loxodromy: Azimut loxodromy: Délka loxodromy: pro A ¹ 90° pro A = 90°

Obr. 2.19 Loxodroma